梯度上升算法理论详解和实现

梯度上升算法是一种优化算法，用于求解最大似然估计问题。在逻辑回归模型中，通过最大化似然函数来确定模型的参数向量，进而使得模型能够以最大可能性拟合训练数据。

具体而言，我们首先定义似然函数为：

$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{m}h_\theta(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1 - h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} $$

其中，$h_\theta(x^{(i)})$表示样本$x^{(i)}$属于正类别的概率，$y^{(i)}$为样本$x^{(i)}$对应的目标变量。

我们将似然函数取对数，并乘上一个负号，得到对数似然函数的形式为：

$$ J(\theta) = -\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\log{h_\theta(x^{(i)})} + (1-y^{(i)})\log{(1 - h_\theta(x^{(i)}))}) $$

接下来，我们可以使用梯度上升算法来求解对数似然函数的最大值。具体而言，每次迭代时，更新参数向量$\theta$的值，使得对数似然函数的值逐步增大。具体的求解过程如下：

1. 初始化参数向量$\theta$；
2. 计算预测值$h_\theta(x^{(i)})$；
3. 计算误差$y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})$；
4. 更新参数向量$\theta_j := \theta_j + \alpha\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}$，其中$j$表示参数向量$\theta$的索引，$\alpha$为学习率；
5. 重复步骤2~4，直到对数似然函数收敛或达到指定的迭代次数。

在每轮迭代中，根据更新后的参数向量$\theta$，我们可以计算出模型对训练数据的预测值，并通过比较预测值和实际值来评估模型的性能。

以下是使用Python实现梯度上升算法的代码：

import numpy as np

def sigmoid(z):
    """
    定义sigmoid函数
    """
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def gradient_ascent(x, y, alpha=0.01, num_iters=100):
    """
    实现梯度上升算法，用于优化逻辑回归模型的参数

    参数：
    x - 特征向量（包含截距项）
    y - 目标变量
    alpha - 学习率，默认为0.01
    num_iters - 迭代次数，默认为100

    返回：
    theta - 学习后的参数向量
    """
    m, n = x.shape   # m为样本数量，n为特征数量（包括截距项）
    theta = np.zeros((n, 1))  # 初始化参数向量为0

    for i in range(num_iters):
        h = sigmoid(np.dot(x, theta))  # 计算预测值
        error = y - h  # 计算误差
        theta += alpha * np.dot(x.T, error)  # 更新参数向量

    return theta

在以上代码中，我们对整个样本集进行迭代，每轮迭代都根据更新后的参数向量$\theta$计算出模型对训练数据的预测值，并通过比较预测值和实际值来评估模型的性能。其中，学习率$\alpha$和迭代次数$num_iters$可以根据具体情况进行调节，以便获得更好的模型性能。

除了使用梯度上升算法外，还有其他的优化算法可以用于求解逻辑回归模型的参数，例如随机梯度上升算法、批量梯度上升算法和牛顿法等。在实际应用中，需要根据具体问题的特点和数据集的大小来选择最合适的优化算法，并进行适当的参数调节，以获得最佳的模型性能。