梯度上升算法是一种优化算法，用于求解最大似然估计问题。在逻辑回归模型中，通过最大化似然函数来确定模型的参数向量，进而使得模型能够以最大可能性拟合训练数据。
具体而言，我们首先定义似然函数为：
$$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{m}h_\theta(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1 - h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} $$
其中，$h_\theta(x^{(i)})$表示样本$x^{(i)}$属于正类别的概率，$y^{(i)}$为样本$x^{(i)}$对应的目标变量。
我们将似然函数取对数，并乘上一个负号，得到对数似然函数的形式为：
$$ J(\theta) = -\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\log{h_\theta(x^{(i)})} + (1-y^{(i)})\log{(1 - h_\theta(x^{(i)}))}) $$
接下来，我们可以使用梯度上升算法来求解对数似然函数的最大值。具体而言，每次迭代时，更新参数向量$\theta$的值，使得对数似然函数的值逐步增大。具体的求解过程如下：
- 初始化参数向量$\theta$；
- 计算预测值$h_\theta(x^{(i)})$；
- 计算误差$y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})$；
- 更新参数向量$\theta_j := \theta_j + \alpha\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}$，其中$j$表示参数向量$\theta$的索引，$\alpha$为学习率；
- 重复步骤2~4，直到对数似然函数收敛或达到指定的迭代次数。
在每轮迭代中，根据更新后的参数向量$\theta$，我们可以计算出模型对训练数据的预测值，并通过比较预测值和实际值来评估模型的性能。
需要注意的是，在使用梯度上升算法时，特征向量$x$需要包含截距项，并且样本数据需要进行适当的归一化处理，以提高训练效果。同时，学习率$\alpha$和迭代次数$num_iters$的选择也会对算法的收敛速度和性能产生一定的影响。
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